Параллелограмм встречается не только на уроках геометрии, но и в повседневных предметах: от разметки спортивной площадки до оконных рам. В 7-9 классах эта тема важна для решения задач и подготовки к контрольным. В статье разберем определение, элементы, свойства и признаки параллелограмма, его частные случаи, формулы периметра и площади, а также решим несколько простых задач. После чтения вы сможете уверенно отличать свойства от признаков и применять их на практике.
Определение параллелограмма и его элементы
Параллелограмм это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. На чертеже вершины обычно обозначают A, B, C, D, а стороны AB, BC, CD и DA. Противоположные стороны: AB и CD, BC и AD. Противоположные углы: A и C, B и D. Углы, имеющие общую сторону, называют соседними, например A и B. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Высотой параллелограмма называют перпендикуляр, проведенный из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону. Для формул используют обозначения: a и b смежные стороны, h высота, d1 и d2 диагонали. Квадрат, прямоугольник и ромб это частные случаи параллелограмма.
Свойства параллелограмма
Свойства параллелограмма выполняются в любом таком четырехугольнике. Их не нужно доказывать при решении задач, они уже даны.
- Противоположные стороны равны: AB = CD, BC = AD.
- Противоположные углы равны: ∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
- Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°: ∠A + ∠B = 180°, ∠B + ∠C = 180° и так далее.
- Диагонали точкой пересечения делятся пополам: AO = OC, BO = OD.
Например, если в параллелограмме один угол равен 70°, то противоположный ему угол тоже 70°, а соседние углы будут по 110°, так как 180° - 70° = 110°. Свойства работают только для параллелограмма, поэтому прежде чем их применять, убедитесь, что фигура действительно является параллелограммом.
Признаки параллелограмма
Признаки позволяют доказать, что четырехугольник является параллелограммом. Достаточно проверить один из них.
| Признак | Формулировка | |---------|--------------| | По двум сторонам | Если две противоположные стороны равны и параллельны, то четырехугольник параллелограмм. | | По противоположным сторонам | Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то это параллелограмм. | | По противоположным углам | Если противоположные углы попарно равны, то четырехугольник параллелограмм. | | По диагоналям | Если диагонали точкой пересечения делятся пополам, то это параллелограмм. |
Разница между свойством и признаком проста: свойство идет от известного параллелограмма и дает равенства, а признак ведет к доказательству, что фигура является параллелограммом. Для доказательства достаточно одного признака. Например, если в четырехугольнике диагонали делятся пополам, можно сразу утверждать, что это параллелограмм.
Частные случаи: прямоугольник, ромб, квадрат
Прямоугольник это параллелограмм с прямыми углами. У него диагонали равны. Ромб это параллелограмм с равными сторонами, его диагонали перпендикулярны и делят углы пополам. Квадрат одновременно является и прямоугольником, и ромбом: у него все стороны равны и все углы прямые. Все свойства параллелограмма наследуются этими фигурами, но у них есть и дополнительные признаки. Например, квадрат является параллелограммом, но не каждый параллелограмм является квадратом.
Формулы периметра и площади
Периметр параллелограмма вычисляется по формуле P = 2(a + b), где a и b смежные стороны. Площадь можно найти несколькими способами. Площадь через сторону и высоту: S = a h, где h проведена к стороне a. Через две стороны и угол между ними: S = a b sin(угла). Через диагонали и угол между ними: S = (d1 d2 sin(угла между диагоналями)) / 2. Высота должна быть перпендикулярна выбранной стороне. Например, если a = 5 см, h = 4 см, то S = 5 4 = 20 см². Следите за единицами измерения: стороны в см, площадь в квадратных см.
Решение простых задач
Задача 1 Один угол параллелограмма равен 70°. Найдите остальные углы. Решение: противоположный угол тоже 70°. Соседние углы: 180° - 70° = 110°. Ответ: 70°, 110°, 70°, 110°.
Задача 2 Периметр параллелограмма 36 см, одна сторона 8 см. Найдите смежную сторону. Решение: P = 2(a + b). 36 = 2(8 + b). 18 = 8 + b. b = 10 см. Ответ: 10 см.
Задача 3 Сторона a = 6 см, высота h = 4 см. Найдите площадь. Решение: S = a h = 6 4 = 24 см². Ответ: 24 см².
Задача 4 Стороны 5 см и 8 см, угол между ними 30°. Найдите площадь. Решение: S = a b sin(30°) = 5 8 0,5 = 20 см². Ответ: 20 см².
Задача 5 В четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O, AO = OC, BO = OD. Докажите, что ABCD параллелограмм. Решение: по признаку о диагоналях, если они делятся пополам, четырехугольник является параллелограммом. Ответ: доказано.
Вопросы для самопроверки
- Что такое параллелограмм?
- Сформулируйте свойство противоположных углов.
- По какому признаку можно доказать, что четырехугольник параллелограмм, зная только его диагонали?
- Как найти площадь параллелограмма, если известны две стороны и угол между ними?