Чтобы составить уравнение прямой, параллельной данной и проходящей через конкретную точку, достаточно знать угловой коэффициент исходной прямой. Параллельные прямые на плоскости не пересекаются и имеют одинаковый наклон, поэтому их угловые коэффициенты совпадают. В этой статье мы разберём пошаговый алгоритм, рассмотрим разные формы уравнения прямой и отдельно остановимся на особых случаях. Вы научитесь не только находить нужное уравнение, но и проверять его.
Параллельные прямые и угловой коэффициент
Напомним, что две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Для прямых, заданных уравнениями с угловым коэффициентом, условие параллельности очень простое: k1 = k2. Угловой коэффициент k показывает, насколько круто прямая поднимается или опускается. Если у двух прямых одинаковый k, их наклон совпадает, и они параллельны (или совпадают, если ещё совпадает свободный член b). Поэтому для построения параллельной прямой через точку достаточно взять тот же угловой коэффициент, что и у исходной прямой. Единственное исключение: вертикальные прямые, у которых угловой коэффициент не определён. О них мы поговорим отдельно.
Формы уравнения прямой и угловой коэффициент
Чаще всего прямая задана уравнением с угловым коэффициентом: y = kx + b. Здесь k обозначает угловой коэффициент. Если уравнение дано в общем виде Ax + By + C = 0, то при B ≠ 0 можно выразить y и найти k = -A/B. Например, из 3x + 2y - 6 = 0 получаем 2y = -3x + 6, y = -1,5x + 3, значит, k = -1,5. Если известны две точки (x1, y1) и (x2, y2), угловой коэффициент вычисляется по формуле k = (y2 - y1)/(x2 - x1) при условии x2 ≠ x1. Вертикальная прямая имеет уравнение x = a, её угловой коэффициент не существует. Если вы забыли, как находить угловой коэффициент по двум точкам, рекомендуем повторить статью «Угловой коэффициент прямой». Преобразовывать уравнение из одной формы в другую несложно: из y = kx + b можно получить kx - y + b = 0, а из общего вида выразить y.
Пошаговый алгоритм
Для невертикальной прямой удобнее всего идти от углового коэффициента к точечно-наклонной форме, а затем приводить результат к привычному виду. Такой порядок действий универсален: он подходит и для уравнения y = kx + b, и для общего уравнения, из которого коэффициент только предстоит выразить через k = -A/B. Ошибки чаще всего возникают при раскрытии скобок и приведении подобных слагаемых, поэтому каждый шаг стоит контролировать. Предлагаем придерживаться следующей последовательности действий.
- Найдите угловой коэффициент k заданной прямой. Если дано y = kx + b, возьмите k. Если дано Ax + By + C = 0 и B ≠ 0, вычислите k = -A/B.
- Проверьте, не является ли данная прямая вертикальной. Если она имеет вид x = a, то угловой коэффициент не определён. В этом случае параллельная прямая через точку (x1, y1) будет иметь уравнение x = x1. Переходите сразу к шагу 5.
- Используйте точечно-наклонную форму: y - y1 = k(x - x1), где (x1, y1) обозначает заданную точку, а k обозначает найденный угловой коэффициент. Эта запись напрямую следует из формулы углового коэффициента: для произвольной точки (x, y) прямой k = (y - y1)/(x - x1), и после умножения обеих частей на (x - x1) получаем y - y1 = k(x - x1).
- Преобразуйте уравнение к удобному виду: y = kx + b или Ax + By + C = 0.
- Выполните проверку: подставьте координаты точки в полученное уравнение. Если равенство выполняется, уравнение составлено верно.
Особый случай: если заданная точка лежит на исходной прямой, то параллельная прямая через эту точку совпадает с исходной. Уравнение не меняется. Если по условию требуется другая прямая, задача не имеет решения.
Примеры решения задач
Пример 1. Дано уравнение y = 2x + 3 и точка (0, 1). Угловой коэффициент k = 2. Подставляем в точечно-наклонную форму: y - 1 = 2(x - 0). Раскрываем скобки: y - 1 = 2x, откуда y = 2x + 1. Проверка: при x = 0 получаем y = 1, что совпадает с координатами точки. Уравнение параллельной прямой: y = 2x + 1.
Пример 2. Дано уравнение x = 4 и точка (2, 3). Это вертикальная прямая, угловой коэффициент не определён. Параллельная ей прямая также вертикальна и проходит через точку с абсциссой 2. Значит, её уравнение x = 2. Проверка: подставляем x = 2, получаем верное равенство.
Пример 3. Дано уравнение y = -x + 2 и точка (1, 1). Сначала проверим, лежит ли точка на исходной прямой: 1 = -1 + 2, равенство верно. Точка принадлежит прямой. Параллельная прямая через эту точку совпадает с исходной, её уравнение y = -x + 2. Если в задаче требуется прямая, отличная от исходной, то решения нет.
Пример 4. Дано общее уравнение 3x + 2y - 6 = 0 и точка (2, 1). Найдём угловой коэффициент: k = -A/B = -3/2 = -1,5. Подставляем в точечно-наклонную форму: y - 1 = -1,5(x - 2). Раскрываем скобки: y - 1 = -1,5x + 3, откуда y = -1,5x + 4. Переведём в общий вид: умножим на 2, получим 2y = -3x + 8, или 3x + 2y - 8 = 0. Проверка: 32 + 21 - 8 = 6 + 2 - 8 = 0. Всё верно.
Типичные ошибки
Частая ошибка: путаница между параллельными и перпендикулярными прямыми. Для параллельных угловые коэффициенты равны, а для перпендикулярных выполняется условие k2 = -1/k1 при k1 ≠ 0 (если k1 = 0, перпендикулярная ей прямая вертикальна). Всегда проверяйте, что именно требуется в задаче.
Вторая ошибка: знаки при преобразованиях. Особенно внимательно нужно раскрывать скобки, если угловой коэффициент отрицательный. Например, в выражении -1,5(x - 2) важно правильно умножить -1,5 на -2, чтобы получить +3.
Третья ошибка: забывают про вертикальные прямые. Если исходная прямая задана уравнением x = a, метод с угловым коэффициентом не работает: такую прямую нельзя записать в виде y = kx + b. Нужно сразу записать x = x1.
Четвёртая ошибка: игнорируют проверку того, лежит ли точка на исходной прямой. Если точка принадлежит прямой, параллельная прямая совпадёт с ней; иногда это противоречит условию, тогда задача не имеет решения. Проверка подстановкой помогает избежать и вычислительных ошибок.
Задания для самостоятельного решения
Ниже четыре задачи: три на составление уравнения параллельной прямой и одна на проверку особого случая.
- Дано: y = 3x - 1, точка (2, 4). Составьте уравнение параллельной прямой.
- Дано: 2x - y + 3 = 0, точка (1, 2). Составьте уравнение параллельной прямой в общем виде.
- Дано: x = -2, точка (5, 3). Составьте уравнение параллельной прямой.
- Дано: y = -x + 5, точка (2, 3). Лежит ли точка на прямой? Если да, что будет параллельной прямой через эту точку?
Ответы 1) y = 3x - 2; 2) 2x - y = 0; 3) x = 5; 4) точка лежит на прямой, параллельная совпадает: y = -x + 5.